¿Corre más la trainera o la trainerilla?

La estupenda revista de matemáticas divulgativas +Plus Magazine, en su último número de Mayo 2012 publica un artículo titulado "Outer space: Canoeing and kayaking" (Espacio exterior: Canoas y kayaks), cuyo autor es John D. Barrow, en el que plantea la pregunta de si corre más o menos una de estas embarcaciones cuando se duplica su tripulación, lo que no sabemos a priori ya que si la potencia propulsiva se duplica también lo hace su desplazamiento y por lo tanto su resistencia hidrodinámica.

+Plus expone unas sencillas y razonables ecuaciones para estimar la variación de dicha resistencia y determinar a partir de ella el aumento de potencia necesaria, que lo compara con el aumento de potencia proporcionado por los remeros adicionales. Llega a una conclusión teórica que compara con datos publicados de velocidades (o sus equivalentes tiempos) en regatas de Kayacs y concluye que un kayak del doble de tripulantes aumenta su velocidad en un 8 a 10 %.

Esta conclusión parece concordar con la impresión intuitiva que tenemos sobre la mayor velocidad de las embarcaciones semejantes pero de mayor tamaño. Es el caso de la familia consituída por bateles, trainerillas y traineras. No tengo datos de tiempos de regatas para hacer la comparación en forma similar a como ha hecho +Plus con los kayacs, pero desde luego tengo la sensación de que se cumple la misma ley, aunque ignoro si el porcentaje será el mismo.

Ecuaciones de +Plus

1) En estas embarcaciones, de baja velocidad, la resistencia hidrodinámica (Rh) es básicamente debida a la fricción de la carena con el agua y por tanto proporcional a 1º) su superficie mojada, (que a su vez es proporcional a la eslora al cuadrado L^2) y 2º) al cuadrado de la velocidad V^2. Indicando la proporcionalidad con el signo # tenemos que

            Rh # L^2 * V^2

2) La potencia necesaria Ph para empujar la embarcación a la velocidad V, es el producto de la resistencia Rh por la velocidad y por tanto tenemos

            Ph # Rh * V = L^2 * V^3

           

3) Como el desplazamiento(peso) de la embarcación es proporcional al cubo de la eslora (suponiendo que se conservan las relaciones entre las dimensiones), y como también el peso de la embarcación más los tripulantes es aprox. proporcional al número N de estos, podemos decir que L^3 es proporcional a N, es decir L # N^1/3

                       

4) Por tanto decimos que

        Ph # L^2 * V^3 = N^2/3 * V^3

       

5) Por otra parte la potencia que dan los remeros es proporcional a su número N, y tiene que ser la misma que requiere la embarcación para moverse a velocidad V, es decir

        N^2/3 * V^3 # N

       

        Es decir V # N^1/9

       

Si se duplican los tripulantes (N=2) la velocidad aumentará un 8% ( 2^1/9 = 1,08).

En el artículo de +Plus se dan datos de tiempos/velocidades registrados en los juegos olímpicos de Pekín, para kayacs de 1, 2, y 4 tripulantes, hombres y mujeres, y su comparación respecto a la fórmula anterior indica valores entre 1,08 y 1,10.

Referencias
Ref.1 +Plus Magazine, Outer space: Canoeing and Kayaking by John D. Barrow